18 июня 2024 г. Евгений А. Митюшов

Моделирование равномерных дискретных распределений на группе вращений SO(3).

В рамках конструктивного подхода дается метод генерации равномерных дискретных выборок на группе вращений SO(3) и их визуализации в трехмерном евклидовом пространстве с использованием свойств группы единичных кватернионов Sp(1).

Метод основан на факте двулистного накрытия Sp(1) → SO(3) и возможности отождествлять элементы равномерных выборок на группе Sp(1) с вершинами правильных четырехмерных многогранников, вписанных в единичную трехмерную сферу. Получение равномерных дискретных выборок на группе Sp(1) доказывается существованием пяти центросимметричных правильных четырехмерных многогранников, вписанных в единичную гиперсферу. Этими многогранниками являются: тессеракт, шестнадцатиячейник, двадцатичетырехячейник, стодвадцатиячейник, шестисотячейник. Для визуализации элементов этой выборки выполняется отображение соответствующих точек трехмерной сферы в шар радиусом трехмерного векторного пространства R³. Приводятся примеры дискретных распределений и возможности их практического использования.

Видео-иллюстрация к докладу доступна по ссылке https://www.youtube.com/watch?v=yL2zAnmNosk.

30 июля 2024 г. Никита П. Копытов

Использование беспроводных датчиков для мониторинга вращательного движения «свободного полёта» твёрдого тела.

В докладе описаны современные направления развития и области применения инерциальных измерительных модулей (IMU), датчиков и систем мониторинга на их основе. Обзорно освещены вопросы развития прикладного математического аппарата для преобразования «сырых» данных от датчиков для получения параметров ориентации твердого тела. Кратко описана архитектура макета беспроводной измерительной системы для мониторинга вращения.

На примере «свободного полета» тестового твердого тела (стального бруска) с закрепленным на нем датчиком, приведены результаты измерения фактических угловых скоростей, а также результаты смоделированных угловых скоростей, полученных с помощью математической модели на основе уравнений Эйлера. Приведена анимация движения твердого тела (получена с использованием кватернионов), которая воспроизводит характер его движения во время эксперимента.

Также на основе данных численного моделирования и данных эксперимента произведен и представлен расчет динамических инвариантов.

Представлены предварительные выводы для обсуждения и описаны возможные направления будущих исследований.

September 28, October 5 & October 12, 2024. Alexander A. Migdal

Quantum Solution of Classical Turbulence. (The video files are available to registered participants, exclusively.)

Using the loop equation, we reduce the problem of decaying turbulence in the 3 + 1 dimensional Navier-Stokes equation to the quantum mechanics of N Fermi particles on a ring in one dimension, interacting with an Euler ensemble of random fractions p/q with denominator q < N.

We find the solution of this system in the statistical limit N → ∞ and compute the energy spectrum, dissipation rate, and velocity correlation function in decaying turbulence without approximations and fitted parameters. We find the whole spectrum of critical indexes, some of which are real, but others are complex numbers related to zeros of the Riemann ζ function.

Grid turbulence experimental data and the recent large-scale DNS verify our predictions for the energy decay curve and the energy spectrum. All scaling laws – K41, multifractal and Heisenberg – are ruled out.

16 ноября 2024 г. Михаил В. Бабич

О многомерном аналоге углов Эйлера (Тейта-Брайана).

В докладе будет предложено обобщение метода углов Эйлера, или, точнее, обобщение метода углов Тейта-Брайана, метода, описывающего вращение ортогонального репера в R³.

Представленный метод разбивает задачу на построение последовательности элементарных ортогональных преобразований, поворотов в двумерных плоскостях. Композиция этих преобразований переводит заданное подпространство в некоторое стандартное, в координатное подпространство. Это можно трактовать как “параметризацию” грассманиана G(q,p+q) элементами SO(p+q). Разработан соответствующий метод, названный построением SO-координат на грассманиане. Описано соответствие между представленной теорией и стандартными вращениями Тейта-Брайана: “рысканье”, “тангаж” и “крен”.